高考数学复习：集合与映射专题复习指导_集合

    
　　天津市第四十二中学 张鼎言
　　一、集合与简易逻辑
　　复习导引：这部分高考题一般以选择题与填空题出现。多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。
　　1.设集合m={1,2,3,4,5,6},s1、s2、…sk都是m的含两个元素的子集，且满足：对任意的si={ai,bi},sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。则k的最大值是( )
　　a.10 b. 11
　　c. 12 d. 13
　　分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决？我们不妨把抽象问题具体化！
　　如si={1,2},sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,si是sj符合题目要求的两个集合。若sj={2，4}则与si={2，4}按题目要求应是同一个集合。
　　题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。m是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是c62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选b。
　　注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。
　　2.设i为全集，s1、s2、s3是i的三个非空子集，且s1∪s2∪s3=i，则下面论断正确的是( )
　　(a)cis1∩(s2∪s3)=
　　(b)s1(cis2∩cis3)
　　(c)cis1∩cis2∩cis3=
　　(d)s1(cis2∪cis3)
　　分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。我们在复习集合部分时,应让同学掌握如下的定律:
　　摩根公式
　　cia∩cib=ci(a∪b)
　　cia∪cib=ci(a∩b)
　　这样,选项c中:
　　cis1∩cis2∩cis3
　　=ci(s1∪s2∪s3)
　　由已知
　　s1∪s2∪s3=i
　　即ci(s1∪s2∪s3)=ci=
　　而上面的定律并不是复习中硬加上的,这个定律是教材练习一道习题的引申。所以,高考复习源于教材,高于教材。
　　这道题的解决,也可用特殊值法,如可设s1={1，2}，s2={1，3}，s3={1，4}问题也不难解决。
　　3.是正实数，设s={|f(x)=cos[(x+])是奇函数}，若对每个实数a，s∩(a，a+1)的元素不超过2个，且有a使s∩(a，a+1)含2个元素，则的取值范围是 。
　　解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函数,可得cosx·cos=0,cosx不恒为0，
　　∴cos=0,=k+-，k∈z
　　又>0，∴=-(k+-)
　　(a，a+1)的区间长度为1,在此区间内有且仅有两个角, 两个角之差为:-(k1+k2)
　　不妨设k≥0，k∈z：
　　两个相邻角之差为-<1,>。
　　若在区间(a，a+1)内仅有二角,那么-≥1，≤2，∴<≤2。
　　注：这是集合与三角函数综合题。
　　4.设集合a={(x,y)|y≥-|x-2|}，b={(x,y)|y≤-|x|+b}，a∩b≠，
　　(1)b的取值范围是 ；
　　(2)若(x，y)∈a∩b且x+2y的最大值为9，则b的值是 。
　　解：用图形分别表示集合a、b。
　　-
　　-
　　-
　　b:y≤-|x|+b
　　从观察图形，易知
　　b≥1,a∩b≠；
　　(2)直线l方程为x+2y-2=0
　　直线x+2y=9平行于l，
　　其截距为-
　　∴b=-
　　5.集合a＝｛x|-＜0}，b＝｛x ||x -b|＜a}，若“a＝1”是“a∩b≠”的充分条件， 则b的取值范围是( 　)
　　a.-2≤b<0 b.0
　　c.-3
　　分析a={x|-1
　　a、b区间长度均为2。
　　我们从反面考虑，若a∩b≠
　　此时，b+1≤-1或b-1≥1
　　即b≤-2或b≥2。
　　b≤-2或b≥2为b不能取值的范围，所以应排除a、b、c,选d。
　　注：本题是以集合为基础的充要条件，其难点并不是充要条件，而是对参数b的处理。本题的解法意在从a∩b≠出发,类似于不等量关系，考虑等量关系使问题简化，再用排除法。
　　6.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数个数共有
　　(a)1个 (b)4个
　　(c)8个 (d)10个
　　解：根据对应关系定义,从象的个数出发去思考。
　　(1)函数集合有一个象,如象为1,
　　这时f(x)=1,x=1,2,3
　　f[f(x)]=f(1)=1=f(x)
　　写成对应形式{1,2,3}f {1}
　　若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}
　　同理{1,2,3}f {3}
　　以上共有3个函数。
　　(2)函数集合有2个元素
　　如函数集合为{1,2}
　　有{1,3}f {1},{2}f {2}
　　这时f(1)=1,f[f(1)]=f(1)
　　f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)
　　f(2)=1,f[f(2)]=f(2)
　　有两个函数。
　　同理 函数集合为{1,3},{2,3}各有2个函数
　　综上有6个函数
　　(3)函数集合有三个元素{1,2,3}
　　只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3
　　∴有一个函数,f(x)=x
　　∴综上(1)、(2)、(3)共有10个函数,故选d。
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